Summen und Treppen

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%22%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%23%20Mathematik%201%2C%20Vorlesung%201%3A%20Summen%20und%20Treppen.%0A%23%20Live%20demo%20in%20the%20lecture%20(%60just%20present%20notebook-01-summen%60)%20and%20for%20exploring%20at%20home.%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22%2C%20app_title%3D%22Summen%20und%20Treppen%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20%23%20Colours%20from%20lib%2Ftheme.typ%0A%20%20%20%20TEAL%20%3D%20%22%230A9396%22%0A%20%20%20%20AMBER%20%3D%20%22%23EE9B00%22%0A%20%20%20%20INK%20%3D%20%22%23001219%22%0A%20%20%20%20return%20AMBER%2C%20INK%2C%20TEAL%2C%20mo%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Summen%20und%20Treppen%0A%0A%20%20%20%20Wie%20gro%C3%9F%20ist%20%241%20%2B%202%20%2B%203%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20n%24%3F%20Wir%20legen%20die%20Summe%20als%20Treppe%20aus%20K%C3%A4stchen.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2030%2C%20value%3D6%2C%20label%3D%22%24n%24%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20doubled%20%3D%20mo.ui.switch(label%3D%22zweite%20Treppe%20dazulegen%22)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn%2C%20doubled%5D%2C%20widths%3D%5B3%2C%201%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20return%20doubled%2C%20n%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(AMBER%2C%20INK%2C%20TEAL%2C%20doubled%2C%20mo%2C%20n)%3A%0A%20%20%20%20def%20staircase_svg(n%2C%20doubled%2C%20max_px%3D360)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cell%20%3D%20max(8%2C%20min(40%2C%20max_px%20%2F%2F%20(n%20%2B%201)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%2C%20height%20%3D%20n%20*%20cell%2C%20(n%20%2B%201)%20*%20cell%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rects%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k%20in%20range(1%2C%20n%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20(k%20-%201)%20*%20cell%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20top%20%3D%20n%20%2B%201%20if%20doubled%20else%20k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20y%20in%20range(top)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%20%3D%20TEAL%20if%20y%20%3C%20k%20else%20AMBER%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rects.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Crect%20x%3D%22%7Bx%7D%22%20y%3D%22%7Bheight%20-%20(y%20%2B%201)%20*%20cell%7D%22%20width%3D%22%7Bcell%7D%22%20height%3D%22%7Bcell%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'fill%3D%22%7Bcolor%7D%22%20fill-opacity%3D%220.75%22%20stroke%3D%22%7BINK%7D%22%20stroke-width%3D%221%22%2F%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Csvg%20width%3D%22%7Bwidth%20%2B%202%7D%22%20height%3D%22%7Bheight%20%2B%202%7D%22%20viewBox%3D%22-1%20-1%20%7Bwidth%20%2B%202%7D%20%7Bheight%20%2B%202%7D%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%22%22.join(rects)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%22%3C%2Fsvg%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_sum%20%3D%20sum(range(1%2C%20n.value%20%2B%201))%0A%20%20%20%20if%20doubled.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Zwei%20Treppen%20bilden%20ein%20Rechteck%20mit%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7Bn.value%7D%20%5C%5Ctimes%20%7Bn.value%20%2B%201%7D%20%3D%20%7Bn.value%20*%20(n.value%20%2B%201)%7D%24%20K%C3%A4stchen.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Eine%20Treppe%20ist%20die%20H%C3%A4lfte%20davon%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%241%20%2B%202%20%2B%20%5C%5Cdots%20%2B%20%7Bn.value%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7Bn.value%7D%20%5C%5Ccdot%20%7Bn.value%20%2B%201%7D%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%20%3D%20%7B_sum%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%241%20%2B%202%20%2B%20%5C%5Cdots%20%2B%20%7Bn.value%7D%20%3D%20%7B_sum%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Frage%3A**%20Wie%20kann%20man%20das%20ausrechnen%2C%20ohne%20alle%20Zahlen%20zu%20addieren%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Tipp%3A%20Schalten%20Sie%20die%20zweite%20Treppe%20dazu.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bstaircase_svg(n.value%2C%20doubled.value)%2C%20_text%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D3%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Wie%20schnell%20w%C3%A4chst%20die%20Summe%3F%0A%0A%20%20%20%20**Frage%3A**%20Was%20passiert%20mit%20%241%20%2B%202%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20n%24%2C%20wenn%20man%20%24n%24%20verdoppelt%3F%20Raten%20Sie%2C%20bevor%20Sie%20die%20Tabelle%20%C3%B6ffnen.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22n%22%3A%20n%2C%20%221%20%2B%20%E2%80%A6%20%2B%20n%22%3A%20n%20*%20(n%20%2B%201)%20%2F%2F%202%2C%20%22Verh%C3%A4ltnis%20zum%20Wert%20davor%22%3A%20%22%22%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20(10%2C%2020%2C%2040%2C%2080%2C%20160%2C%20320)%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20for%20_prev%2C%20_row%20in%20zip(_rows%2C%20_rows%5B1%3A%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_row%5B%22Verh%C3%A4ltnis%20zum%20Wert%20davor%22%5D%20%3D%20f%22%7B_row%5B'1%20%2B%20%E2%80%A6%20%2B%20n'%5D%20%2F%20_prev%5B'1%20%2B%20%E2%80%A6%20%2B%20n'%5D%3A.2f%7D%22%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Tabelle%20anzeigen%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.table(_rows%2C%20selection%3DNone%2C%20pagination%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Doppeltes%20%24n%24%20ergibt%20ungef%C3%A4hr%20die%20**vierfache**%20Summe%2C%20denn%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B2%7D%24.%20Genauso%20w%C3%A4chst%20die%20Laufzeit%20eines%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Algorithmus%2C%20der%20alle%20Paare%20von%20%24n%24%20Datens%C3%A4tzen%20vergleicht.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Beispiele%20sind%20keine%20Beweise%0A%0A%20%20%20%20Ist%20%24n%5E2%20%2B%20n%20%2B%2041%24%20immer%20eine%20Primzahl%3F%20Schieben%20Sie%20den%20Regler%2C%20bis%20Sie%20ein%20Gegenbeispiel%20finden.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20m%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2045%2C%20value%3D5%2C%20label%3D%22bis%20%24n%20%3D%24%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20m%0A%20%20%20%20return%20(m%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(m%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20is_prime(k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20k%20%3E%3D%202%20and%20all(k%20%25%20d%20for%20d%20in%20range(2%2C%20int(k**0.5)%20%2B%201))%0A%0A%20%20%20%20def%20smallest_factor(k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20next(d%20for%20d%20in%20range(2%2C%20k%20%2B%201)%20if%20k%20%25%20d%20%3D%3D%200)%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_n%20in%20range(m.value%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_v%20%3D%20_n%20*%20_n%20%2B%20_n%20%2B%2041%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_p%20%3D%20is_prime(_v)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%22%3A%20_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%C2%B2%20%2B%20n%20%2B%2041%22%3A%20_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Primzahl%3F%22%3A%20%22ja%22%20if%20_p%20else%20%22NEIN%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Zerlegung%22%3A%20%22%22%20if%20_p%20else%20f%22%7Bsmallest_factor(_v)%7D%20%C2%B7%20%7B_v%20%2F%2F%20smallest_factor(_v)%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_first_fail%20%3D%20next((r%5B%22n%22%5D%20for%20r%20in%20_rows%20if%20r%5B%22Primzahl%3F%22%5D%20%3D%3D%20%22NEIN%22)%2C%20None)%0A%20%20%20%20_summary%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22Bis%20%24n%20%3D%20%7Bm.value%7D%24%20immer%20eine%20Primzahl.%20Gilt%20das%20also%20immer%3F%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_first_fail%20is%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Gegenbeispiel%20bei%20%24n%20%3D%20%7B_first_fail%7D%24%3A%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24%7B_first_fail%7D%5E2%20%2B%20%7B_first_fail%7D%20%2B%2041%20%3D%20%7B_rows%5B_first_fail%5D%5B'Zerlegung'%5D%7D%24.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Ein%20einziges%20Gegenbeispiel%20widerlegt%20die%20Vermutung.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22danger%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_summary%2C%20mo.ui.table(_rows%5B%3A%3A-1%5D%2C%20selection%3DNone%2C%20page_size%3D10)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A